导数专题：多元变量恒成立问题的处理 | 841c7797
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思路
- 分离（全分离 / 半分离）
- 分类讨论（利用特殊点缩小范围）
- 特殊值 \rightarrow 必要性 \rightarrow 充分性
- 用放缩 \rightarrow 充分性 \rightarrow 必要性（反证法）
好题
设函数 f(x)=e^x-1-x-ax^2
（Ⅰ）若 a=0，求 f(x) 的单调区间
(-\infty,0) 单调递减，(0,+\infty) 单调递增，过程略
（Ⅱ）若当 x\ge 0 时 f(x)\ge 0，求 a 的取值范围
（一）
f(x)\ge 0 即 e^x-1-x\ge ax^2
（1）x=0，成立
（2）x\gt 0，a\le\frac{e^x-x-1}{x^2}
设 g(x)=\frac{e^x-x-1}{x^2}，则 g'(x)=\frac{(x-2)e^x+x+2}{x^3}
设 t(x)=(x-2)e^x+x+2，则 t'(x)=(x-1)e^x+1，t''(x)=xe^x
\because t''(x)=xe^x\gt 0
\therefore t'(x) 单调递增，t'(x)\gt t'(0)=0
\therefore t(x) 单调递增，t(x)\gt t(0)=0，g'(x)\gt 0
\therefore g(x)\gt\lim_{x\to 0}g(x)
（二）
泰勒展开（背景）
想法
实现
可证 e^x\ge 1+x+\frac 1 2 x^2，充分性显然，必要性难以说明
（三）
导数
想法
f(x)\ge f(0)=0，直观感受是 f'(x) 在 x=0 附近应该大于等于 0
f'(x)=e^x-2ax-1，f'(0)=0，则 f''(x) 在 x=0 附近应该大于等于 0
f''(x)=e^x-2a，则有 f''(0)\ge 0，即 a\le\frac 1 2（必要）
实现
假设 a\gt\frac 1 2，则 f''(0)\lt 0，则 f''(x) 在 x=0 附近存在小于 0 的一段区间，设为 [0,x_0)
\because f''(x)\lt 0,x\in[0,x_0)
\therefore f'(x) 在 x\in(0),x_0) 单调递减，则 f'(x_0)\lt f'(0)=0，且 f'(x)\lt 0,x\in(0,x_0)
\because f'(x)\lt 0,x\in(0,x_0)
\therefore f(x) 在 x\in[0,x_0) 单调递减，则 f(x_0)\lt f(0)=0，与题目要求不符，矛盾
\therefore a\le\frac 1 2（必要）
将（二）和（三）结合起来，可证充要
（四）
