CF297 题解

未独立完成的题目

• C
• E

A

题意

给你两个 01 串 a, b，定义 parity(str): 如果 str 中有奇数个 1，返回 1，否则返回 0。有两种操作

• 把 parity(a) 附到 a 的最后
• 在 a 的前面删掉一个数

可以执行任意步操作，问你是否可以把 a 变成 b。

题解

注意到如果 a 中有偶数个 1，则 1 的数目不可能增多（如果 a 中有奇数个 1，可以先在后面添上一个 1，之后 1 的数目就不可能增多了）。并且通过合适的策略，可以把 a 变成任何一个 1 的数目小于等于它的 01 串。只要数一下 a, b 中 1 的数目即可。

总结

这题考场 AC，并且重新思考时独立完成。

B

题意

有 k 种🐟，每种🐟都有一个重量，并且它们按照重量从小到大排序后有一个编号。Alice 手上有 n 条🐟，Bob手上有 m 条🐟。给出 Alice 和 Bob 手上鱼的编号，问 Alice 手上的🐟的总重是否可以大于 Bob。

题解

首先把这些编号离散化一下，再做个后缀和。从后往前扫，如果某个位置 Alice 手上的🐟的数量大于 Bob 了，我们就把这之后的🐟的重量全赋成 INF，这之前的全赋成 1。这样 Alice 手上的🐟的重量肯定大于 Bob。

总结

这题考场 AC，并且重新思考时独立完成。

C

题意

有一个数组 s，包含 n 个互不相同的非负整数。让你分成两个数组 a, b。使得

• a_i,b_i 为非负整数
• s_i=a_i+b_i

同时，要求 a, b 中重复出现的数分别不超过 \lceil \frac n 3 \rceil。

题解

构造。把 s 数组排序后，

1. a 数组的前 \frac 1 3 填 1\sim \frac n 3，b 数组对应填。
2. b 数组的中间 \frac 1 3 填 \frac n 3 \sim \frac{2n} 3，a 数组对应填
3. b 数组的最后 \frac 1 3 填 n-i-1，a 数组对应填。

这样保证了 a 数组的前面和后面是两两不同的，b 数组的中间和后面是两两不同的。

总结

这题还记得是分三段构造，但是构造策略没想出来，未独立完成。

D

题意

用 k 种颜色拼成一个 h*w 的地毯，同时对于每一对有公共边的方块给定了一个限制条件，要求它们同色或者不同色。这些限制条件只要满足 3\over 4 即可。如果可以构造，给出一种方案。

题解

这题给了 k 个颜色，实际上对于 k\ge 2 的情况，只要两个颜色就可以了，并且总是可以构造。对于k=1 的情况简单判一下 E 的数量是否超过总数的 3\over 4。否则，注意到有 h*(w-1)+w*(h-1) 个限制条件，我们先满足 h*(w-1) 和 w*(h-1) 中较大的限制条件，再在剩下的条件中挑一部分满足。可以先翻转一下，保证 h\le w。然后行内全满足，上下的关系总可以满足一半以上（先钦定第一个块的颜色，如果发现这样填下来满足不了一半，把整行颜色反转，就可以满足一半以上了），加起来超过总数的 3\over 4。

总结

独立完成。

E

题意

一个环上有 2n 个顶点。要求选择 3 条不重复的弦，在它们顶点处建 6 个熊洞，且每条弦的两个端点的距离（距离的定义是在环上经过的熊洞数，取较小值）相同，询问其方案数。

题解

三条弦总共有五种关系，其中 2, 5 是合法的。

但是 2, 5 的方案比较难算，考虑从总方案中减掉 1, 3, 4 的方案。

假设我们能处理出每条弦的左边和右边弦的数量，记为 L_i, R_i，对于类型 1，答案就是 \sum L_i \cdot R_i。把类型 3 和类型 4 一起计算。它们的共同点是从两条弦（对于类型 3 是顶上两条，对于类型 4 是竖着的两条）的角度观察，一条弦和自己相交，一条线和自己相离。那么情况数就是 \sum (L_i + R_i)*(n-L_i-R_i-1)\over 2（每种情况会被计算两次）。

现在问题是怎么计算 L_i,R_i。设以弦 (x_i,y_i) 的角度观察（x_i\lt y_i），如果弦 (x_j,y_j) 在自己左边（x_j\lt y_j），则 x_j\lt x_i，y_j\gt y_i \ or \ y_j \lt x_i 或者 y_j\gt x_j\gt y_i，。否则，x_i\lt x_j\lt y_j\lt y_i。这可以用二维偏序解决。复杂度 n \log n。

总结

未独立完成。